Achar Δy e Δy / Δx correspondentes à variação do argumento de x até x + Δx para as funções:

  1. y = ln(x)

Passo 1

Nessa, podemos ver que não há valores numéricos, né, apenas valores literais. Mas não precisa se desesperar! Só seguir a receitinha de bolo, do mesmo jeito!

Temos as fórmulas:

Δ y = y 1 - y

e

Δ y = f x 1 - f x = f x + Δ x - f ( x )

Passo 2

Então é só substituir!

Δ y = f x + Δ x - f x

Δ y = ln ⁡ ( x + Δ x ) - ln ⁡ x

Lembrando, pelas propriedades do logaritmo, que:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Então:

Δ y = ln ⁡ x + Δ x x

Δ y = ln ⁡ x + Δ x x ∙ 1 x 1 x

Δ y = ln ⁡ x x + Δ x x x x

Δ y = ln ⁡ 1 + Δ x x

Passo 3

Assim, teremos a razão Δ y Δ x que será:

Δ y Δ x = ln ⁡ 1 + Δ x x Δ x

Resposta

Pronto! Temos o acréscimo e a razão da função, que é:

Δ y = ln ⁡ 1 + Δ x x           e       Δ y Δ x = ln ⁡ 1 + Δ x x Δ x