Achar a derivada da função y = tg(x) .

Passo 1

Fala galerinha, beleza!!Bora com mais derivada?!Bem, vamos encontrar a derivada da tangente, a partir da definição de limite.

Temos que:

y^' = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x)

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) (tg (x + Delta x) - tg (x))/(Delta x)

Vamos lembrar de uma identidade trigonométrica, que diz que:

tg ( a + b ) = (tg a + tg b)/(1 - tg a tg b)

Assim teremos:

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) ((tg x + tg Delta x)/(1 - tg x tg Delta x) - tg x)/(Delta x)

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) ((tg x + tg Delta x - tg x (1 - tg x tg Delta x))/(1 - tg x tg Delta x))/(Delta x)

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) (tg x + tg Delta x - tg x + tg^2 x tg Delta x)/(Delta x ( 1 - tg x tg Delta x ))

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) (tg Delta x + tg^2 x tg Delta x)/(Delta x (1 - tg x tg Delta x))

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) (tg Delta x ( 1 + tg^2 x ))/(Delta x (1 - tg x tg Delta x))

Transformando tg x = (sen x)/(cos x) :

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) (sen Delta x ( 1 + tg^2 x ))/(Delta x cos Delta x ( 1 - tg x tg Delta x ))

Podemos separar o termo do limite trigonométrico fundamental, onde underset(Delta x -> 0)(l i m) (sen Delta x)/(Delta x) = 1

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) (sen Delta x)/(Delta x) * (( 1 + tg^2 x ))/(cos Delta x ( 1 - tg x tg Delta x ))

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) (( 1 + tg^2 x ))/(cos Delta x ( 1 - tg x tg Delta x ))

Vamos recorrer a mais uma identidade trigonométrica, onde:

sen^2 a + cos^2 a = 1

(sen^2 a)/(cos^2 a) + (cos^2 a)/(cos^2 a) = (1)/(cos^2 a)

tg^2 a + 1 = (1)/(cos^2 a) = sec^2 a

Assim, teremos:

y^' = underset(Delta x -> 0)(l i m) ((sec^2 x))/(cos Delta x ( 1 - tg x tg Delta x ))

Agora, substituindo Delta x = 0 para encontrarmos o limite:

y^' = (sec^2 x)/(cos 0 ( 1 - tg x tg 0 ))

y^' = (sec^2 x)/(1 ( 1 - 0 ))

y^' = (sec^2 x)/(1) = sec^2 x

Resposta

Portanto, com a derivada por definição de limite, temos que (tg x)^' = sec^2 x .

Percebeu a importância das identidades trigonométricas aí?Qualquer dúvida, manda pra gente!