Achar as derivadas das seguintes funções.

y = (1 + raiz(z)) / (1 - raiz(z))

Passo 1

Bom, nessa questão, iremos derivar a função, aplicando as propriedades de derivação que já conhecemos.

Como já sabemos, vamos aplicar a regra da cadeia.

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' ( x ))/((g (x))^2)

Mas antes, podemos reescrever essas raízes em forma de potência.

y^' = (1 + z^((1)/(2)))/(1 - z^((1)/(2)))

Assim teremos:

y^' = ((1 + z^((1)/(2)))^' (1 - z^((1)/(2))) - (1 + z^((1)/(2))) (1 - z^((1)/(2)))^')/((1 - z^((1)/(2)))^2)

y^' = ((1)/(2) z^(- (1)/(2)) (1 - z^((1)/(2))) - (1 + z^((1)/(2))) (- (1)/(2) z^(- (1)/(2))))/((1 - z^((1)/(2)))^2)

y^' = ((1)/(2) z^(- (1)/(2)) - (1)/(2) z^(- (1)/(2) + (1)/(2)) - (- (1)/(2) z^(- (1)/(2)) - (1)/(2) z^(- (1)/(2) + (1)/(2))))/((1 - z^((1)/(2)))^2)

y^' = ((1)/(2) z^(- (1)/(2)) - (1)/(2) + (1)/(2) z^(- (1)/(2)) + (1)/(2))/((1 - z^((1)/(2)))^2)

y^' = (z^(- (1)/(2)))/((1 - z^((1)/(2)))^2)

y^' = (1)/(z^((1)/(2)) (1 - z^((1)/(2)))^2)

Resposta

y = (1 + sqrt(z))/(1 - sqrt(z))

y^' = (1)/(z^((1)/(2)) (1 - z^((1)/(2)))^2)

Conseguiu aí? Sem dúvidas?