Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz(a + b + x^3, 3)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = root(3)(a + b x^3)

Substituindo:

u = (a + b x^3)

Então, substituindo e reescrevendo a equação, teremos:

y = root(3)(u)

y = (u)^((1)/(3))

Logo, a derivada será:

y^' = (u^((1)/(3)))^' * (a + b x^3)^'

y^' = (1)/(3) u^((1)/(3) - 1) * ( 3 b x^2 )

y^' = (1)/(3) u^(- (2)/(3)) * 3 b x^2

y^' = (3 b x^2)/(3 u^((2)/(3)))

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = (3 b x^2)/(3 ( a + b x^3 )^((2)/(3)))

y^' = (b x^2)/(root(3)((a + b x^3)^2))

Resposta

y^' = (b x^2)/(root(3)((a + b x^3)^2))

Está aí nossa derivada.

Se tiver alguma dúvida, pode mandar pra gente.