Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz(2 * e^x - 2^x + 1, 3) + ln^5(x)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = root(3)(2 e^x - 2^x + 1) + ln^5 x

y = (2 e^x - 2^x + 1)^((1)/(3)) + (ln x)^5

Bem, como já sabemos, usamos a substituição para o termo que eleva à potência. Então, vamos definir as duas substituições:

u = (2 e^x - 2^x + 1) e v = ln x

Então teremos:

y = (u)^((1)/(3)) + (v)^5

Logo, a derivada será:

y^' = (u^((1)/(3)))^' (2 e^x - 2^x + 1) + (v^5)^' (ln x)^'

Então:

y^' = (1)/(3) u^(- (2)/(3)) (2 e^x - 2^x ln 2) + 5 v^4 ((1)/(x))

y^' = ((2 e^x - 2^x ln 2))/(3 u^((2)/(3))) + (5 v^4)/(x)

Voltando com a equivalência de u e v , teremos:

y^' = ((2 e^x - 2^x ln 2))/(3 (2 e^x - 2^x + 1)^((2)/(3))) + (5 ( ln x )^4)/(x)

y^' = ((2 e^x - 2^x ln 2))/(3 root(3)((2 e^x - 2^x + 1)^2)) + (5 ln^4 x)/(x)

Resposta

y^' = ((2 e^x - 2^x ln 2))/(3 root(3)((2 e^x - 2^x + 1)^2)) + (5 ln^4 x)/(x)

Prontinho!

O que achou? Qualquer dúvida, pode falar.