Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz(1 - x^2)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sqrt(1 - x^2)

Substituindo:

u = ( 1 - x^2 )

Então, substituindo e reescrevendo a equação, teremos:

y = sqrt(u)

y = (u)^((1)/(2))

Logo, a derivada será:

y ' = (u^((1)/(2)))^' (1 - x^2)^'

y^' = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) ( - 2 x )

y^' = (1)/(2 u^((1)/(2))) ( - 2 x )

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = (1)/(2 (1 - x^2)^((1)/(2))) ( - 2 x )

y^' = - (2 x)/(2 sqrt(1 - x^2))

y^' = - (x)/(sqrt(1 - x^2))

Resposta

y^' = - (x)/(sqrt(1 - x^2))

Prontinho! Temos nossa derivada.

Espero que essa resolução tenha lhe ajudado a entender o conteúdo. Qualquer dúvida, pode mandar pra gente aqui!