Achar as derivadas das seguintes funções.

y = tg(x) - 1/3 * tg^3(x) + 1/5 * tg^5(x)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = tg x - (1)/(3) tg^3 x + (1)/(5) tg^5 x

Substituindo:

u = (tg x)

Então teremos:

y = u - (1)/(3) u^3 + (1)/(5) u^5

Logo, a derivada será:

y^' = (u)^' ( tg x ) ' - (1)/(3) ( u^3 ) ' ( tg x ) ' + (1)/(5) ( u^5 ) ' ( tg x ) '

Sabemos que (tg x)^' = sec^2 x , então:

y^' = 1 * (sec^2 x) - (1)/(3) (3 u^2) (sec^2 x) + (1)/(5) ( 5 u^4 ) ( sec^2 x )

y^' = (sec^2 x) - u^2 (sec^2 x) + u^4 ( sec^2 x )

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = (sec^2 x) - (tg x)^2 (sec^2 x) + (tg x)^4 ( sec^2 x )

y^' = (sec^2 x) - tg^2 x (sec^2 x) + tg^4 x ( sec^2 x )

Resposta

y^' = (sec^2 x) - tg^2 x (sec^2 x) + tg^4 x ( sec^2 x )

Está aí nossa derivada.

O que achou? Deu certo?