Achar as derivadas das seguintes funções.

y = (3 + 2 * x^2)^(1/4)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (3 + 2 x^2)^4

Com a substituição (3 + 2 x^2) = u , teremos que, a derivada da função, será a derivada de f em relação a u , multiplicado pela derivada de u em relação a y .

y ' = y_u^' * u_x^'

Logo, substituindo, teremos:

y ' = (u^4) ' * ( u_x ) '

y ' = 4 u^3 * ( 3 + 2 x^2 ) '

y ' = 4 u^3 * ( 4 x )

Voltando com a equivalência de u teremos:

y ' = 4 (3 + 2 x^2)^3 * ( 4 x )

y ' = 8 x (3 + 2 x^2)^3

Resposta

y ' = 8 x (3 + 2 x^2)^3

Ficou alguma dúvida?É só substituir com atenção e seguir os passos!