Achar as derivadas das seguintes funções.

y = (a^(2/3) - x^(2/3))^(3/2)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (a^((2)/(3)) - x^((2)/(3)))^((3)/(2))

Substituindo:

u = (a^((2)/(3)) - x^((2)/(3)))

Então, substituindo e reescrevendo a equação, teremos:

y = (u)^((3)/(2))

Logo, a derivada será:

y^' = (u^((3)/(2)))^' * (a^((2)/(3)) - x^((2)/(3)))^'

y^' = (3)/(2) u^((3)/(2) - 1) (- (2)/(3) x^((2)/(3) - 1))

y^' = (3)/(2) u^((1)/(2)) (- (2)/(3) x^(- (1)/(3)))

y^' = (3)/(2) sqrt(u) (- (2)/(3 root(3)(x)))

y^' = - (sqrt(u))/(root(3)(x))

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = - (sqrt(a^((2)/(3)) - x^((2)/(3))))/(root(3)(x))

Resposta

y^' = - (sqrt(a^((2)/(3)) - x^((2)/(3))))/(root(3)(x))

Está aí nossa derivada.

Alguma dúvida? Manda pra gente.