Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz(x * e^x + x)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sqrt(x e^x + x)

y = (x e^x + x)^((1)/(2))

Bem, como já sabemos, usamos a substituição para o termo que eleva à potência, né? Então:

u = ( x e^x + x )

Então teremos:

y = (u)^((1)/(2))

Simples, né? Então a derivada será:

y (u^((1)/(2)))^' (x e^x + x)^'

Com a regra da cadeia, teremos:

(x e^x + x)^' = (x e^x)^' + (x)^' = [(x)^' (e^x) + ( x ) ( e^x ) '] + 1 = e^x + x e^x + 1

Então:

y^' = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) ( e^x + x e^x + 1 )

y^' = (1)/(2 u^((1)/(2))) ( e^x + x e^x + 1 )

y^' = (e^x + x e^x + 1)/(2 sqrt(u))

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = (e^x + x e^x + 1)/(2 sqrt(( x e^x + x )))

Resposta

y^' = (e^x + x e^x + 1)/(2 sqrt(( x e^x + x )))

Conseguiu aí?Se tiver alguma dúvida, pode mandar que a gente soluciona.