Achar as derivadas das seguintes funções.

y = (a*x + b) / c^3

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = ((a x + b)/(c))^3

Com a substituição ((a x + b)/(c)) = u , teremos que, a derivada da função, será a derivada de y em relação a u , multiplicado pela derivada de u em relação a x .

f^' (x) = y_u^' * u_x^'

Logo, substituindo, teremos:

y^' = (u^3) ' * ( u_x ) '

y^' = 3 u^2 * ((a x + b)/(c))^'

y^' = 3 u^2 * ((a x)/(c))^' + ((b)/(c))^'

y^' = 3 u^2 * ((a)/(c))

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = 3 ((a x + b)/(c))^2 ((a)/(c))

Resposta

y^' = 3 ((a x + b)/(c))^2 ((a)/(c))

Foi aí?Compreendeu o uso da substituição?

Qualquer dúvida chama a gente!