Achar as derivadas das seguintes funções.

y = x^2 / ln(x)

Passo 1

Vamos trabalhar um pouco com funções exponenciais e logarítmicas.

Lembrando que:

(ln x)^' = (1)/(x)

Também usaremos a regra da cadeia aqui.

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

Assim, ficaremos com:

y^' = ((x^2)^' (ln x) - (x^2) (ln x)^')/((ln x)^2)

y^' = (2 x (ln x) - x^2 ((1)/(x)))/((ln x)^2)

y^' = (2 x ln x - x)/((ln x)^2)

y^' = (x * 2 ln x - x)/((ln x)^2)

Pela propriedade do logaritmo, fazemos:

a ln b = ln b^a

Assim fica:

y^' = (x ln x^2 - x)/(ln^2 x)

Resposta

y = (x^2)/(ln x)

y^' = (x ln x^2 - x)/(ln^2 x)

Sempre importante ter na cabeça as propriedades do logaritmo, hein!

O que achou?