Achar as derivadas das seguintes funções.

y = 1 / x + 2 * ln(x) - ln(x) / x

Passo 1

Vamos trabalhar um pouco com funções exponenciais e logarítmicas.

Lembrando que:

(ln x)^' = (1)/(x)

Também usaremos a regra da cadeia aqui.

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

Para facilitar nosso trabalho, podemos reescrever a função com potências, ficando assim:

y = x^(- 1) + 2 ln x - x^(- 1) ln x

Agora, derivando:

y^' = (x^(- 1)) + 2 (ln x)^' - [ (x^(- 1))^' (ln x) + ( x^(- 1) ) ( ln x ) ' ]

y^' = - 1 x^(- 2) + 2 ((1)/(x)) - [(- 1 x^(- 2)) (ln x) + x^(- 1) ((1)/(x))]

y^' = - (1)/(x^2) + (2)/(x) + (1)/(x^2) ln x - (1)/(x^2)

Igualando o denominador dos termos, ficamos com:

y^' = (- 1 + 2 x + ln x - 1)/(x^2)

y^' = (2 x - 2 + ln x)/(x^2)

Resposta

y = (1)/(x) + 2 ln x - (ln x)/(x)

y^' = (2 x - 2 + ln x)/(x^2)

Conseguiu aí?Qualquer dúvida, tamo ae!