Achar as derivadas das seguintes funções.

y = (1 + 4x - 5x^2)^(1/30)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (1 + 3 x - 5 x^2)^(30)

Com esse expoente aí, ia dar um trabalhinho bom, desenvolver a equação, pra poder derivá-la, né? Hahaha... Então usamos a substituição:

Com (1 + 3 x - 5 x^2) = u , teremos que, a derivada da função, será a derivada de y em relação a u , multiplicado pela derivada de u em relação a x .

f^' (x) = y_u^' * u_x^'

Logo, substituindo, teremos:

y^' = (u^(30)) ' * ( u_x ) '

y^' = 30 u^(29) * ( 1 + 3 x - 5 x^2 ) '

y^' = 30 u^(29) (3 - 5 (2) x)

y^' = 30 u^(29) ( 3 - 10 x )

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = 30 (1 + 3 x - 5 x^2)^(29) * ( 3 - 10 x )

Resposta

y^' = 30 (1 + 3 x - 5 x^2)^(29) * ( 3 - 10 x )

Bem prático, né? Ficou alguma dúvida?

Vamos praticar mais algumas, pra fixar bem a técnica!