Achar as derivadas das seguintes funções.

f(y) = (2a + 3by)^2

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

f (y) = (2 a + 3 b y)^2

Com a substituição (2 a + 3 b y) = u , teremos que, a derivada da função, será a derivada de f em relação a u , multiplicado pela derivada de u em relação a y .

f^' (x) = f_u^' * u_y^'

Logo, substituindo, teremos:

f^' (y) = (u^2) ' * ( u_x ) '

f^' (y) = 2 u * (2 a + 3 b y)^'

f^' (y) = 2 u * [ (2 a)^' + (3 b y)^' ]

f^' (y) = 2 u * 3 b

Voltando com a equivalência de u teremos:

f^' (y) = 2 (2 a + 3 b y) * (3 b)

f^' (y) = 6 b (2 a + 3 b y)

Resposta

f^' (y) = 6 b (2 a + 3 b y)

Conseguiu entender o raciocínio? Ficou claro?Compreendeu o uso da substituição?