Achar as derivadas das seguintes funções.

y = 3 / (56 * (2x - 1)^7) - 1 / (24 * (2x - 1)^6) - 1 / (40 * (2x - 1)^5)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (3)/(56 (2 x - 1)^7) - (1)/(24 (2 x - 1)^6) - (1)/(40 (2 x - 1)^5)

Note que aqui poderemos utilizar uma só substituição para todos os termos.

u = ( 2 x - 1 )

Então, substituindo e reescrevendo a equação, teremos:

y = (3)/(56 u^7) - (1)/(24 u^6) - (1)/(40 u^5)

y = (3)/(56) u^(- 7) - (1)/(24) u^(- 6) - (1)/(40) u^(- 5)

Logo, a derivada será:

y ' = (3)/(56) ( u^(- 7) ) ' ( 2 x - 1 ) ' - (1)/(24) ( u^(- 6) ) ' ( 2 x - 1 ) ' - (1)/(40) ( u^(- 5) ) ' ( 2 x - 1 ) '

y^' = (3)/(56) (- 7 u^(- 6)) (2) - (1)/(24) (- 6 u^(- 5)) ( 2 ) - (1)/(40) ( - 5 u^(- 4) ) ( 2 )

y^' = - (42)/(56) u^(- 6) + (12)/(24) u^(- 5) + (10)/(40) u^(- 4)

Simplificando, e voltando com a equivalência de u , teremos:

y^' = - (3)/(4) ( 2 x - 1 )^(- 6) + (1)/(2) ( 2 x - 1 )^(- 5) + (1)/(4) ( 2 x - 1 )^(- 4)

y^' = - (3)/(4 ( 2 x - 1 )^6) + (1)/(2 ( 2 x - 1 )^5) + (1)/(4 ( 2 x - 1 )^4)

Resposta

y^' = - (3)/(4 ( 2 x - 1 )^6) + (1)/(2 ( 2 x - 1 )^5) + (1)/(4 ( 2 x - 1 )^4)

Essa substituição ajuda muito na derivação de funções compostas!Bora praticar pra pegar o jeito!!