Achar as derivadas das seguintes funções.

y = ln(raiz(1 + e^x) - 1) - ln(raiz(1 - e^x) + 1)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = ln (sqrt(1 + e^x) - 1) - ln (sqrt(1 - e^x) + 1)

Vamos começar transformando tudo em potência.

y = ln ((1 + e^x)^((1)/(2)) - 1) - ln ((1 - e^x)^((1)/(2)) + 1)

Vamos usar a seguinte substituição:

u = (1 + e^x) e v = ( 1 - e^x )

Logo:

y = ln (u^((1)/(2)) - 1) - ln (v^((1)/(2)) + 1)

Assim, nossa derivada fica:

y^' = (ln (u^((1)/(2)) - 1))^' (1 + e^x)^' - (ln (v^((1)/(2)) + 1))^' (1 - e^x)^'

y^' = (((u^((1)/(2)) - 1)^')/((u^((1)/(2)) - 1))) e^x - (((v^((1)/(2)) + 1)^')/((v^((1)/(2)) + 1))) (- e^x)

y^' = ((1)/(2) u^(- (1)/(2)) e^x)/((u^((1)/(2)) - 1)) + ((1)/(2) v^(- (1)/(2)) e^x)/((v^((1)/(2)) + 1))

y^' = ((e^x)/(2 sqrt(u)))/(sqrt(u) - 1) + ((e^x)/(2 sqrt(v)))/(sqrt(v) + 1)

y^' = (e^x)/(2 sqrt(u) ( sqrt(u) - 1 )) + (e^x)/(2 sqrt(v) (sqrt(v) + 1))

y^' = (e^x)/(2 u - 2 sqrt(u)) + (e^x)/(2 v + 2 sqrt(v))

Voltando com os termos u e v :

y^' = (e^x)/(2 (1 + e^x) - 2 sqrt((1 + e^x))) + (e^x)/(2 ( 1 - e^x ) + 2 sqrt(( 1 - e^x )))

Resposta

y^' = (e^x)/(2 (1 + e^x) - 2 sqrt((1 + e^x))) + (e^x)/(2 ( 1 - e^x ) + 2 sqrt(( 1 - e^x )))

Sem mistério, né?Se tiver alguma dúvida, manda aí pra gente!