Achar as derivadas das seguintes funções.

y = x / (a^2 * raiz(a^2 + x^2))

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (x)/(a^2 sqrt(a^2 + x^2))

Reescrevendo:

y = (x)/(a^2 (a^2 + x^2)^((1)/(2)))

Vamos usar a seguinte substituição:

u = (a^2 + x^2)

Assim teremos:

y = (x)/(a^2 (u)^((1)/(2)))

Assim, pela regra do quociente, teremos a seguinte derivada:

y^' = (1)/(a^2) [((x)^' (u^((1)/(2))) - (x) (u^((1)/(2)))^' (a^2 + x^2)^')/((u^((1)/(2)))^2)]

y ' = (1)/(a^2) [(u^((1)/(2)) - x ((1)/(2) u^(- (1)/(2))) (2 x))/(u^((2)/(2)))]

y^' = (1)/(a^2) [(sqrt(u) - (2 x^2)/(2 sqrt(u)))/(u)]

y^' = (1)/(a^2) [((2 sqrt(u) sqrt(u) - 2 x^2)/(2 sqrt(u)))/(u)]

y^' = (1)/(a^2) [(2 u - 2 x^2)/(2 u sqrt(u))]

Agora, retornando com o termo u :

y^' = (1)/(a^2) [(2 (a^2 + x^2) - 2 x^2)/(2 (a^2 + x^2) sqrt((a^2 + x^2)))]

Reescrevendo:

y^' = (1)/(a^2) [(2 (a^2 + x^2 - x^2))/(2 (a^2 + x^2) (a^2 + x^2)^((1)/(2)))]

y^' = (1)/(a^2) [(a^2)/((a^2 + x^2)^((2)/(2) + (1)/(2)))]

Simplificando, teremos:

y^' = (1)/((a^2 + x^2)^((3)/(2)))

Resposta

y^' = (1)/((a^2 + x^2)^((3)/(2)))

Com um pouco de manipulação, temos nossa derivada. Ficou alguma dúvida?