Achar as derivadas das seguintes funções.

y = (1 / 8) * raiz(1 + x^3)^(1/3) - (1 / 5) * raiz(1 + x^3)^(1/3)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (1)/(8) root(3)((1 + x^3)^8) - (1)/(5) root(3)((1 + x^3)^5)

Vamos começar reescrevendo a equação com potências:

y = (1)/(8) (1 + x^3)^((8)/(3)) - (1)/(5) (1 + x^3)^((5)/(3))

Usando a seguinte substituição:

u = (1 + x^3)

Ficaremos com:

y = (1)/(8) (u)^((8)/(3)) - (1)/(5) (u)^((5)/(3))

Então, derivando:

y^' = (1)/(8) (u^((8)/(3)))^' (1 + x^3)^' - (1)/(5) (u^((5)/(3)))^' (1 + x^3) '

y^' = (1)/(8) ((8)/(3) u^((5)/(3))) (3 x^2) - (1)/(5) ((5)/(3) u^((2)/(3))) (3 x^2)

y^' = (3 x^2)/(3) u^((5)/(3)) - (3 x^2)/(3) u^((2)/(3))

y^' = x^2 u^((5)/(3)) - x^2 u^((2)/(3))

Voltando com o termo u :

y^' = x^2 (1 + x^3)^((5)/(3)) - x^2 (1 + x^3)^((2)/(3))

Resposta

y^' = x^2 (1 + x^3)^((5)/(3)) - x^2 (1 + x^3)^((2)/(3))

O que achou?Se tiver alguma dúvida, pode falar com a gente!