Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz(ln(x) + 1) + ln(raiz(x) + 1)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sqrt(ln x + 1) + ln (sqrt(x) + 1)

Reescrevendo:

y = (ln x + 1)^((1)/(2)) + ln (x^((1)/(2)) + 1)

Lembrando que:

(l n u)^' = (u^')/(u)

Vamos usar a seguinte substituição, para o primeiro termo:

v = (ln x + 1)

Assim, teremos:

y = (v)^((1)/(2)) + ln (x^((1)/(2)) + 1)

Logo, nossa derivada será:

y^' = (v^((1)/(2)))^' (ln x + 1)^' + (((x^((1)/(2)) + 1)^')/(x^((1)/(2)) + 1))

y^' = (1)/(2) v^(- (1)/(2)) ((1)/(x)) + ((1)/(2) x^(- (1)/(2)))/(x^((1)/(2)) + 1)

y^' = (1)/(2 x sqrt(v)) + ((1)/(2 sqrt(x)))/(sqrt(x) + 1)

y^' = (1)/(2 x sqrt(v)) + (1)/(2 sqrt(x) ( sqrt(x) + 1 ))

Voltando com nosso termo v :

y^' = (1)/(2 x sqrt(ln x + 1)) + (1)/(2 x + 2 sqrt(x))

Resposta

y^' = (1)/(2 x sqrt(ln x + 1)) + (1)/(2 x + 2 sqrt(x))

Certinho?Qualquer dúvida, manda pra cá!