Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz((x + a)(x + b)(x + c))

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sqrt(( x + a ) ( x + b ) ( x + c ))

Mais uma função literal. Hehe.Vamos começar transformando essa raiz em potência, e separando os termos:

y = (x + a)^((1)/(2)) (x + b)^((1)/(2)) (x + c)^((1)/(2))

Vamos usar as seguintes substituições:

u = (x + a) , v = (x + b) , w = (x + c)

Logo, teremos:

y = (u)^((1)/(2)) (v)^((1)/(2)) (w)^((1)/(2))

Assim, nossa derivada fica, pela regra da cadeia:

y^' = (u^((1)/(2)))^' (x + a) ' (v^((1)/(2))) (w^((1)/(2))) + (u^((1)/(2))) [(v^((1)/(2)))^' (x + b) ' (w^((1)/(2))) + (v^((1)/(2))) (w^((1)/(2)))^' (x + c)^']

y^' = ((1)/(2) u^(- (1)/(2))) (1) (v^((1)/(2))) (w^((1)/(2))) + (u^((1)/(2))) [((1)/(2) v^(- (1)/(2))) (1) (w^((1)/(2))) + (v^((1)/(2))) ((1)/(2) w^(- (1)/(2))) (1)]

y^' = (v^((1)/(2)) w^((1)/(2)))/(2 u^((1)/(2))) + u^((1)/(2)) [(w^((1)/(2)))/(2 v^((1)/(2))) + (v^((1)/(2)))/(2 w^((1)/(2)))]

y^' = (v^((1)/(2)) w^((1)/(2)))/(2 u^((1)/(2))) + (u^((1)/(2)) w^((1)/(2)))/(2 v^((1)/(2))) + (u^((1)/(2)) v^((1)/(2)))/(2 w^((1)/(2)))

y^' = (sqrt(v w))/(2 sqrt(u)) + (sqrt(u w))/(2 sqrt(v)) + (sqrt(u v))/(2 sqrt(w))

Agora já podemos voltar com nossos termos u , v e w :

y^' = (sqrt((x + b) (x + c)))/(2 sqrt((x + a))) + (sqrt((x + a) (x + c)))/(2 sqrt((x + b) )) + (sqrt((x + a) (x + b) ))/(2 sqrt((x + c)))

Resposta

y^' = (sqrt((x + b) (x + c)))/(2 sqrt((x + a))) + (sqrt((x + a) (x + c)))/(2 sqrt((x + b) )) + (sqrt((x + a) (x + b) ))/(2 sqrt((x + c)))

Conseguiu aí?Se ficar com alguma dúvida, pode mandar pra gente.