Achar as derivadas das seguintes funções.

y = x^4 * (a - 2 * x^3)^2

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = x^4 (a - 2 x^3)^2

A função já está no jeito para começarmos. Então vamos adotar a seguinte substituição:

u = ( a - 2 x^3 )

Então teremos:

y = x^4 ( u )^2

Então, pela regra da cadeia, teremos a seguinte derivada:

y^' =

y^' = (x^4)^' (u^2) + (x^4) (u^2)^' (a - 2 x^3)^'

y^' = 4 x^3 u^2 + x^4 2 u (- 2 * 3 x^2)

y^' = 4 x^3 u^2 + 2 x^4 u (- 6 x^2)

y^' = 4 x^3 u^2 - 12 x^6 u

Voltando com o termo u :

y^' = 4 x^3 (a - 2 x^3)^2 - 12 x^6 (a - 2 x^3)

Expandindo, teremos:

y^' = 4 x^3 (a^2 - 4 a x^3 + 4 x^6) - 12 a x^6 + 24 x^9

y^' = 4 a^2 x^3 - 16 a x^6 + 16 x^9 - 12 a x^6 + 24 x^9

y^' = 40 x^9 - 28 a x^6 + 4 a^2 x^3

Resposta

y^' = 40 x^9 - 28 a x^6 + 4 a^2 x^3

Show?!Qualquer dúvida, mandae!