Achar as derivadas das seguintes funções.

y = x^3 / (3 * raiz(1 + x^2)^3)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (x^3)/(3 sqrt((1 + x^2)^3))

Reescrevendo:

y = (x^3)/(3 (1 + x^2)^((3)/(2)))

Vamos usar a seguinte substituição:

u = (1 + x^2)

Assim teremos:

y = (x^3)/(3 (u)^((3)/(2)))

Assim, pela regra do quociente, teremos a seguinte derivada:

y^' = (1)/(3) [((x^3)^' (u^((3)/(2))) - (x^3) (u^((3)/(2)))^' (1 + x^2)^')/((u^((3)/(2)))^2)]

y ' = (1)/(3) [(3 x^2 u^((3)/(2)) - x^3 ((3)/(2) u^((1)/(2))) (2 x))/(u^((3 * 2)/(2)))]

y^' = (1)/(3) [(3 x^2 sqrt(u^3) - 3 x^4 sqrt(u))/(u^3)]

Agora, retornando com o termo u :

y^' = (1)/(3) [(3 x^2 sqrt((1 + x^2)^3) - 3 x^4 sqrt((1 + x^2)))/((1 + x^2)^3)]

Reescrevendo, colocando em evidência:

y^' = (3)/(3) [(x^2 sqrt((1 + x^2)^3) - x^4 sqrt((1 + x^2)))/((1 + x^2)^3)]

y^' = [(x^2 sqrt((1 + x^2)^3) - x^4 sqrt((1 + x^2)))/((1 + x^2)^3)]

Resposta

y^' = [(x^2 sqrt((1 + x^2)^3) - x^4 sqrt((1 + x^2)))/((1 + x^2)^3)]

Com um pouco de manipulação, temos nossa derivada.

Qualquer dúvida, pode mandar pra gente!