Achar as derivadas das seguintes funções.

y = (a + x) * raiz(a - x)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (a + x) sqrt(a - x)

Mais uma função literal. Hehe.Mole, né? Vamos reescrevê-la da seguinte forma:

y = (a + x) (a - x)^((1)/(2))

Vamos usar a seguinte substituição:

u = (a - x)

Logo, teremos:

y = (a + x) (u)^((1)/(2))

Assim, nossa derivada fica, pela regra da cadeia:

y^' = (a + x)^' (u^((1)/(2))) + (a + x) (u^((1)/(2)))^' (a - x)^'

y^' = (1) (u^((1)/(2))) + (a + x) ((1)/(2) u^(- (1)/(2))) (- 1)

y^' = u^((1)/(2)) - ((a + x))/(2) u^(- (1)/(2))

y^' = sqrt(u) - (a + x)/(2 sqrt(u))

Igualando os denominadores:

y^' = (2 sqrt(u) sqrt(u) - a - x)/(2 sqrt(u))

y^' = (2 u - a - x)/(2 sqrt(u))

Voltando com o termo u :

y^' = (2 (a - x) - a - x)/(2 sqrt((a - x)))

y^' = (2 a - 2 x - a - x)/(2 sqrt(a - x))

Então, ficamos com:

y^' = (a - 3 x)/(2 sqrt(a - x))

Resposta

y^' = (a - 3 x)/(2 sqrt(a - x))

Espero que esse desenvolvimento tenha ficado claro pra você.Se ficar com alguma dúvida, pode mandar pra gente!