Achar as derivadas das seguintes funções.

y = ln^2(x) - ln(ln(x))

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = ln^2 x - ln (ln (x))

Lembrando que:

(l n u)^' = (u^')/(u)

Vamos usar v = ln x . Assim teremos:

y = (v)^2 - ln (v)

Logo, nossa derivada será:

y^' = (v^2)^' (ln x)^' - (ln v)^' (ln x)^'

y^' = 2 v ((1)/(x)) - ((1)/(v)) ((1)/(x))

y^' = (2 v)/(x) - (1)/(v x)

Voltando com nosso termo de v :

y^' = (2 ln x)/(x) - (1)/(x ln x)

Resposta

y^' = (2 ln x)/(x) - (1)/(x ln x)

Confere?Se tiver alguma dúvida, pode falar com a gente!