Achar as derivadas das seguintes funções.

x = 1 / raiz(2ay - y^2)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

x = (1)/(sqrt(2 a y - y^2))

Vamos começar transformando tudo em potência.

x = (2 a y - y^2)^(- (1)/(2))

Vamos usar a seguinte substituição:

u = (2 a y - y^2)

Logo:

x = (u)^(- (1)/(2))

Assim, nossa derivada fica:

x^' = (u^(- (1)/(2)))^' (2 a y - y^2)^'

x^' = - (1)/(2) u^(- (3)/(2)) (2 a - 2 y)

x^' = - (2 a - 2 y)/(2 sqrt(u^3))

Retornando com o termo u :

x^' = - (2 a - 2 y)/(2 sqrt((2 a y - y^2)^3))

Colocando em evidência e simplificando:

x^' = - (2 ( a - y ))/(2 sqrt((2 a y - y^2)^3))

x^' = - (( a - y ))/(sqrt((2 a y - y^2)^3))

Resposta

x^' = - (( a - y ))/(sqrt((2 a y - y^2)^3))

Fecho?!Se tiver alguma dúvida, pode mandar pra gente!