Achar as derivadas das seguintes funções.

y = ( (a + b * x^n) / (a - b * x^n) )^m

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = ((a + b x^n)/(a - b x^n))^m

Equação toda literal... Hehe. Bora pra cima!

Vamos usar as seguintes substituições:

u = (a + b x^n) e v = (a - b x^n)

Então teremos:

y = ((u)/(v))^m

Agora ficou easy, né?!

Então, pela regra da cadeia, teremos a seguinte derivada:

y^' = ((u)^' (a + b x^n)^' (v) - ( u ) ( v ) ' ( a - b x^n ) ')/(v^2)

y^' = (1 (b n x^(n - 1)) v - u ( 1 ) ( - b n x^(n - 1) ))/(v^2)

y ' = (v b n x^(n - 1) + u b n x^(n - 1))/(v^2)

Voltando com os termos u e v :

y ' = ((a - b x^n) b n x^(n - 1) + (a + b x^n) b n x^(n - 1))/((a - b x^n)^2)

Vamos expandir esses termos?

y^' = (a b n x^(n - 1) - b^2 n x^(n + n - 1) + a b n x^(n - 1) + b^2 n x^(n + n - 1))/((a - b x^n)^2)

y^' = (2 a b n x^(n - 1))/((a - b x^n)^2)

Resposta

y^' = (2 a b n x^(n - 1))/((a - b x^n)^2)

Pronto! Chegamos na nossa derivada literal.Qualquer dúvida é só chamar!