Achar as derivadas das seguintes funções.

y = 3 / 2 * raiz(x^2, 3) + 18 / 7 * x * raiz(x, 6) + 9 / 5 * x * raiz(x^2, 3) + 6 / 13 * x^2 * raiz(x, 6)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (3)/(2) root(3)(x^2) + (18)/(7) x root(6)(x) + (9)/(5) x root(3)(x^2) + (6)/(13) x^2 root(6)(x)

Grande, hein?!Mas não precisa se assustar. Vamos começar reescrevendo com potências:

y = (3)/(2) x^((2)/(3)) + (18)/(7) x (x^((1)/(6))) + (9)/(5) x (x^((2)/(3))) + (6)/(13) x^2 (x^((1)/(6)))

Assim teremos:

y = (3)/(2) x^((2)/(3)) + (18)/(7) x^((7)/(6)) + (9)/(5) x^((5)/(3)) + (6)/(13) x^((13)/(6))

Bem, agora ficou fácil, né? Vamos derivar:

y^' = (3)/(2) (x^((2)/(3)))^' + (18)/(7) (x^((7)/(6)))^' + (9)/(5) (x^((5)/(3)))^' + (6)/(13) (x^((13)/(6)))^'

y^' = (3)/(2) ((2)/(3) x^(- (1)/(3))) + (18)/(7) ((7)/(6) x^((1)/(6))) + (9)/(5) ((5)/(3) x^((2)/(3))) + (6)/(13) ((13)/(6) x^((7)/(6)))

y^' = x^(- (1)/(3)) + 3 x^((1)/(6)) + 3 x^((2)/(3)) + x^((7)/(6))

y^' = (1)/(root(3)(x)) + 3 root(6)(x) + 3 root(3)(x^2) + root(6)(x^7)

Resposta

y^' = (1)/(root(3)(x)) + 3 root(6)(x) + 3 root(3)(x^2) + root(6)(x^7)

Conseguiu entender com clareza? O que achou?Se tiver alguma dúvida, pode falar com a gente!