Achar as derivadas das seguintes funções.

y = 4 / 3 * raiz( (x - 1) / (x + 2) )^(1/4)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (4)/(3) root(4)((x - 1)/(x + 2))

Vamos começar reescrevendo a equação com potências:

y = (4)/(3) ((x - 1)^((1)/(4)))/((x + 2)^((1)/(4)))

Vamos adotar uma substituição para cada termo:

u = (x - 1) e v = ( x + 2 )

Então teremos:

y = (4)/(3) ((u)^((1)/(4)))/((v)^((1)/(4)))

Então, pela regra do quociente, teremos a seguinte derivada:

y^' = (4)/(3) [((u^((1)/(4)))^' (x - 1)^' (v^((1)/(4))) - (u^((1)/(4))) (v^((1)/(4)))^' (x + 2)^')/((v^((1)/(4)))^2)]

y^' = (4)/(3) [(((1)/(4) u^(- (3)/(4))) (1) (v^((1)/(4))) - (u^((1)/(4))) ((1)/(4) v^(- (3)/(4))) (1))/(v^((2)/(4)))]

y^' = (4)/(3) [((v^((1)/(4)))/(4 u^((3)/(4))) - (u^((1)/(4)))/(4 v^((3)/(4))))/(sqrt(v))]

Igualando o denominador em cima teremos:

y^' = (4)/(3) [((4 v^((3)/(4)) v^((1)/(4)) - 4 u^((3)/(4)) u^((1)/(4)))/(4 u^((3)/(4)) * 4 v^((3)/(4))))/(sqrt(v))]

y^' = (4)/(3) [((4 (v^((4)/(4)) - u^((4)/(4))))/(16 u^((3)/(4)) v^((3)/(4))))/(sqrt(v))]

y^' = (4)/(3) [(( v - u ))/(4 v^((1)/(2)) (u v)^((3)/(4)))]

y^' = (4)/(3) [(( v - u ))/(4 v^((2)/(4)) v^((3)/(4)) u^((3)/(4)))]

y^' = (1)/(3) [(( v - u ))/(u^((3)/(4)) v^((5)/(4)))]

Voltando com os termos u e v :

y^' = (1)/(3) [(( ( x + 2 ) - ( x - 1 ) ))/(( x - 1 )^((3)/(4)) ( x + 2 )^((5)/(4)))]

y^' = (1)/(3) [(x + 2 - x + 1)/(( x - 1 )^((3)/(4)) ( x + 2 )^((5)/(4)))]

y^' = (1)/(3) [(3)/(( x - 1 )^((3)/(4)) ( x + 2 )^((5)/(4)))]

y^' = [(1)/(( x - 1 )^((3)/(4)) ( x + 2 )^((5)/(4)))]

Resposta

y^' = [(1)/(( x - 1 )^((3)/(4)) ( x + 2 )^((5)/(4)))]

Conseguiu aí?!

Precisa ter atenção, pra não errar nenhum termo pelo caminho.