Achar as derivadas das seguintes funções.

y = - (15 / (4 * (x - 3)^4)) - (10 / (3 * (x - 3)^3)) - (1 / (2 * (x - 3)^2))

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = - (15)/(4 (x - 3)^4) - (10)/(3 (x - 3)^3) - (1)/(2 (x - 3)^2)

Vamos utilizar a substituição, com:

u = ( x - 3 )

Assim teremos:

y = - (15)/(4 (u)^4) - (10)/(3 (u)^3) - (1)/(2 (u)^2)

Reescrevendo, teremos:

y = - (15)/(4) u^(- 4) - (10)/(3) u^(- 3) - (1)/(2) u^(- 2)

Agora já tiramos de letra, né?

Nossa derivada será:

y^' = - (15)/(4) (u^(- 4))^' (x - 3)^' - (10)/(3) (u^(- 3))^' (x - 3)^' - (1)/(2) (u^(- 2))^' (x - 3)^'

y^' = - (15)/(4) (- 4 u^(- 5)) (1) - (10)/(3) (- 3 u^(- 4)) (1) - (1)/(2) (- 2 u^(- 3)) (1)

y^' = 15 u^(- 5) + 10 u^(- 4) + 1 u^(- 3)

y^' = (15)/(u^5) + (10)/(u^4) + (1)/(u^3)

Retornando com nosso termo u :

y^' = (15)/(( x - 3 )^5) + (10)/(( x - 3 )^4) + (1)/(( x - 3 )^3)

Resposta

y^' = (15)/(( x - 3 )^5) + (10)/(( x - 3 )^4) + (1)/(( x - 3 )^3)

Compreendeu bem o desenvolvimento?Se tiver alguma dúvida, é só falar com a gente!