Achar as derivadas das seguintes funções.

y = 9 / (5 * (x + 2)^5) - 3 / ((x + 2)^4) + 2 / ((x + 2)^3) - 1 / (2 * (x + 2)^2)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (9)/(5 (x + 2)^5) - (3)/((x + 2)^4) + (2)/((x + 2)^3) - (1)/(2 (x + 2)^2)

Grandinha essa, hein?! Mas é tranquila de resolver, olha só.

Vamos usar a seguinte substituição:

u = ( x + 2 )

Então teremos:

y = (9)/(5 (u)^5) - (3)/((u)^4) + (2)/((u)^3) - (1)/(2 (u)^2)

Podemos reescrevê-la da seguinte forma:

y = (9)/(5) u^(- 5) - 3 u^(- 4) + 2 u^(- 3) - (1)/(2) u^(- 2)

Agora já dá pra resolver facilmente, né? Nossa derivada fica:

y^' = (9)/(5) (u^(- 5))^' ( x + 2 ) ' - 3 (u^(- 4))^' ( x + 2 ) ' + 2 (u^(- 3))^' ( x + 2 ) ' - (1)/(2) (u^(- 2))^' ( x + 2 ) '

y^' = (9)/(5) (- 5 u^(- 6)) (1) - 3 (- 4 u^(- 5)) (1) + 2 (- 3 u^(- 4)) (1) - (1)/(2) (- 2 u^(- 3)) (1)

y^' = - 9 u^(- 6) + 12 u^(- 5) - 6 u^(- 4) + u^(- 3)

y^' = (9)/(u^6) + (12)/(u^5) - (6)/(u^4) + (1)/(u^3)

Resposta

y^' = (9)/(u^6) + (12)/(u^5) - (6)/(u^4) + (1)/(u^3)

Achou difícil? Ficou claro o desenvolvimento?Se ficar com alguma dúvida, pode mandar pra gente!