Achar as derivadas das seguintes funções.

z = raiz(y + raiz(y))^(1/3)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

z = root(3)(y + sqrt(y))

Mais uma função literal. Hehe.Vamos começar transformando essa raiz em potência, e separando os termos:

z = (y + (y)^((1)/(2)))^((1)/(3))

Vamos usar a seguinte substituição:

u = (y + (y)^((1)/(2)))

Logo, teremos:

z = (u)^((1)/(3))

Assim, nossa derivada fica:

z^' = (u^((1)/(3)))^' (y + (y)^((1)/(2)))^'

z^' = (1)/(3) u^(- (2)/(3)) (1 + (1)/(2) y^(- (1)/(2)))

z^' = (1 + (1)/(2 sqrt(y)))/(3 u^((2)/(3)))

z^' = ((2 sqrt(y) + 1)/(2 sqrt(y)))/(3 u^((2)/(3)))

z^' = (2 sqrt(y) + 1)/(6 sqrt(y) u^((2)/(3)))

Voltando com o termo u :

z^' = (2 sqrt(y) + 1)/(6 sqrt(y) (y + (y)^((1)/(2)))^((2)/(3)))

z^' = (2 sqrt(y) + 1)/(6 sqrt(y) root(3)((y + sqrt(y))^2))

Resposta

z^' = (2 sqrt(y) + 1)/(6 sqrt(y) root(3)((y + sqrt(y))^2))

Certinho?!

Qualquer dúvida, manda pra gente!