Achar as derivadas das seguintes funções.

f(t) = (2t + 1)(3t + 2) * raiz(3t + 2, 3)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

f ( t ) = ( 2 t + 1 ) ( 3 t + 2 ) root(3)(3 t + 2)

Vamos começar transformando tudo em potência.

f (t) = (2 t + 1) (3 t + 2) (3 t + 2)^((1)/(3))

Vamos usar a seguinte substituição:

u = (3 t + 2)

Lembrando que só substituiremos o terceiro termo, então teremos:

f (t) = (2 t + 1) (3 t + 2) (u)^((1)/(3))

Assim, nossa derivada fica:

f ' (t) = (2 t + 1) ' (3 t + 2) (u)^((1)/(3)) + (2 t + 1) [(3 t + 2)^' (u^((1)/(3))) + (3 t + 2) (u^((1)/(3)))^' (3 t + 2)^']

f^' (t) = (2) (3 t + 2) (u)^((1)/(3)) + (2 t + 1) [(3) (u^((1)/(3))) + (3 t + 2) ((1)/(3) u^(- (2)/(3))) (3)]

f^' (t) = 2 (3 t + 2) (u)^((1)/(3)) + (2 t + 1) [3 u^((1)/(3)) + (3 t + 2)/(u^((2)/(3)))]

f^' (t) = (3 t + 2) (u)^((1)/(3)) + (6 t + 3) u^((1)/(3)) + ((2 t + 1) ( 3 t + 2 ))/(u^((2)/(3)))

Retornando o termo u :

f^' (t) = 2 (3 t + 2) ((3 t + 2))^((1)/(3)) + (6 t + 3) (3 t + 2)^((1)/(3)) + ((2 t + 1) ( 3 t + 2 ))/((3 t + 2)^((2)/(3)))

f^' (t) = 2 (3 t + 2)^((4)/(3)) + (6 t + 3) (3 t + 2)^((1)/(3)) + (2 t + 1) (3 t + 2)^((3)/(3) - (2)/(3))

f^' (t) = 2 root(3)((3 t + 2)^4) + (6 t + 3) root(3)((3 t + 2)) + ( 2 t + 1 ) root(3)((3 t + 2))

Podemos colocar em evidência:

f^' (t) = 2 root(3)((3 t + 2)^4) + root(3)((3 t + 2)) ((6 t + 3) + (2 t + 1))

f^' (t) = 2 root(3)((3 t + 2)^4) + root(3)((3 t + 2)) (6 t + 3 + 2 t + 1)

f^' (t) = 2 root(3)((3 t + 2)^4) + root(3)((3 t + 2)) (8 t + 4)

Resposta

f^' (t) = 2 root(3)((3 t + 2)^4) + root(3)((3 t + 2)) (8 t + 4)

Show?!Se tiver alguma dúvida, pode mandar pra gente!