Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz(2*x^2 - 2*x + 1) / x

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (sqrt(2 x^2 - 2 x + 1))/(x)

Reescrevendo:

y = ((2 x^2 - 2 x + 1)^((1)/(2)))/(x)

Vamos usar a seguinte substituição:

u = (2 x^2 - 2 x + 1)

Assim teremos:

y = (u^((1)/(2)))/(x)

Assim, pela regra do quociente, teremos a seguinte derivada:

y^' = ((u^((1)/(2)))^' (2 x^2 - 2 x + 1)^' ( x ) - (sqrt(u)) (x)^')/(x^2)

y^' = (((1)/(2) u^(- (1)/(2))) (4 x - 2) (x) - sqrt(u))/(x^2)

y^' = ((4 x^2 - 2 x)/(2 sqrt(u)) - sqrt(u))/(x^2)

y^' = ((4 x^2 - 2 x - 2 sqrt(u) sqrt(u))/(2 sqrt(u)))/(x^2)

y^' = (4 x^2 - 2 x - 2 u)/(2 sqrt(u) x^2)

Agora, voltando com o termo u :

y^' = (4 x^2 - 2 x - 2 (2 x^2 - 2 x + 1))/(2 sqrt((2 x^2 - 2 x + 1)) x^2)

y^' = (4 x^2 - 2 x - 4 x^2 + 4 x - 2)/(2 x^2 sqrt((2 x^2 - 2 x + 1)))

y^' = (2 x - 2)/(2 x^2 sqrt((2 x^2 - 2 x + 1)))

Podemos simplificar, fazendo:

y^' = (2 ( x - 1 ))/(2 x^2 sqrt((2 x^2 - 2 x + 1)))

y^' = (( x - 1 ))/(x^2 sqrt((2 x^2 - 2 x + 1)))

Resposta

y^' = (( x - 1 ))/(x^2 sqrt((2 x^2 - 2 x + 1)))

Prontinho!Se tiver alguma dúvida, é só falar com a gente!