Achar as derivadas das seguintes funções.

y = arc tg(1 / x)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = arctg (1)/(x)

Podemos reescrever como:

y = arctg x^(- 1)

Como já sabemos:

(arc tg A)^' = (A^')/(1 + A^2)

Portanto, nossa derivada será:

y^' = ((x^(- 1))^')/(1 + (x^(- 1))^2)

y^' = (- x^(- 2))/(1 + x^(- 2))

y^' = - ((1)/(x^2))/(1 + (1)/(x^2))

Podemos melhores, multiplicando ((x^2)/(x^2)) :

y^' = - ((1)/(x^2))/(1 + (1)/(x^2)) ((x^2)/(x^2))

y^' = = - (x^2 ((1)/(x^2)))/(x^2 (1 + (1)/(x^2)))

y^' = - ((x^2)/(x^2))/(x^2 + (x^2)/(x^2))

y^' = - (1)/(x^2 + 1)

Resposta

y^' = - (1)/(x^2 + 1)

Pronto!Está aí nossa derivada!