Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz(1 + arcsen(x))

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sqrt(1 + arcsen x)

y = (1 + arcsen x)^((1)/(2))

Bem, aqui teremos uma derivada de uma função inversa. Então vamos relembrar que:

( arcsen x ) ' = (x ')/(sqrt(1 - x^2))

Vamos adotar a substituição para o termo:

u = 1 + arcsen x

Então teremos:

y = (u)^((1)/(2))

Logo, a derivada será:

y^' = (u^((1)/(2)))^' (1 + arcsen x)^'

Então:

y^' = (1)/(2) u^((1)/(2) - 1) (0 + (1)/(sqrt(1 - x^2)))

y^' = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) ((1)/(sqrt(1 - x^2)))

y^' = (1)/(2 sqrt(u)) ((1)/(sqrt(1 - x^2)))

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = (1)/(2 sqrt(( 1 + arcsen x ))) ((1)/(sqrt(1 - x^2)))

y^' = (1)/(2 sqrt((1 + arcsen x)) sqrt(1 - x^2))

Resposta

y^' = (1)/(2 sqrt((1 + arcsen x)) sqrt(1 - x^2))

Certinho! Compreendeu aí?Qualquer dúvida, é só nos chamar!