Achar as derivadas das seguintes funções.

y = (1 + x^2) / (arctg(x) - x) * 2

Passo 1

Bom, nessa questão, iremos derivar a função, aplicando as propriedades de derivação que já conhecemos.

Primeiramente, vamos expandir a equação e separar alguns termos, para facilitar nosso trabalho.

y = (arctg x + x^2 arctg x)/(2) - (x)/(2)

y = (arctg x)/(2) + (x^2 arctg x)/(2) - (x)/(2)

Agora sim aplicamos a derivação.

Lembrando também da regra da cadeia:

( f (x) g ( x ) )^' = f^' (x) g (x) + f ( x ) g^' (x)

Então, recorrendo à tabela de derivadas, teremos:

y^' = (1)/(2) (arctg x) ' + (1)/(2) [ (x^2)^' (arctg x) + (x^2) (arctg x)^' ] - (1)/(2) ( x ) '

y^' = (1)/(2) ((1)/(x^2 + 1)) + (1)/(2) [2 x arctg x + x^2 ((1)/(x^2 + 1))] - (1)/(2)

y^' = (1)/(2 x^2 + 2) + (1)/(2) [2 x arctg x + (x^2)/(x^2 + 1)] - (1)/(2)

y^' = (1)/(2 x^2 + 2) + x arctg x + (x^2)/(2 x^2 + 2) - (1)/(2)

y^' = (1 + x^2)/(2 (x^2 + 1)) + x arctg x - (1)/(2)

y^' = (1)/(2) + x arctg x - (1)/(2)

y^' = x arctg x

Resposta

y = ((1 + x^2) arctg x - x)/(2)

y^' = x arctg x

Conseguiu aí?Ficou alguma dúvida?

Qualquer dúvida manda pra cá!