Achar as derivadas das seguintes funções.

y = 1 / arctg(x)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (1)/(arctg x)

y = (arctg x)^(- 1)

Bem, aqui teremos uma derivada de uma função inversa. Então vamos relembrar que:

( arctg x ) ' = (x ')/(1 + x^2)

Vamos adotar a substituição para o termo:

u = arctg x

Então teremos:

y = (u)^(- 1)

Simples, né? Então a derivada será:

y ' = ( u^(- 1) ) ' ( arctg x ) '

y^' = - 1 u^(- 2) ((1)/(1 + x^2))

y^' = - (1)/(u^2) ((1)/(1 + x^2))

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = - (1)/(( arctg x )^2) ((1)/(1 + x^2))

y^' = - (1)/(( arctg x )^2 * ( 1 + x^2 ))

Resposta

y^' = - (1)/(( arctg x )^2 * ( 1 + x^2 ))

Essa não deu nem pra suar, né? Haha!Se tiver alguma dúvida, pode mandar que a gente soluciona.