Achar as derivadas das seguintes funções.

y = arctg(1 + x) / (1 - x)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = arctg (1 + x)/(1 - x)

Como já sabemos:

(arctg A)^' = (A^')/(1 + A^2)

Portanto, nossa derivada será:

y^' = (((1 + x)/(1 - x))^')/(1 + ((1 + x)/(1 - x))^2)

Com a regra da cadeia, teremos:

((1 + x)/(1 - x))^' = ((1 + x)^' (1 - x) - (1 + x) (1 - x)^')/((1 - x)^2) = (1 (1 - x) - (1 + x) (- 1))/((1 - x)^2)

= (1 - x - ( - 1 - x ))/((1 - x)^2) = (1 - x + 1 + x)/((1 - x)^2) = (2)/((1 - x)^2)

Logo, nossa derivada ficará:

y^' = ((2)/((1 - x)^2))/(1 + ((1 + x)/(1 - x))^2)

y^' = ((2)/((1 - x)^2))/(1 + ((1 + x)^2)/((1 - x)^2))

y^' = ((2)/((1 - x)^2))/(((1 - x)^2 + (1 + x)^2)/((1 - x)^2))

Simplificando, podemos cancelar ambos os denominadores em comum, ficando:

y^' = (2)/((1 - x)^2 + (1 + x)^2)

Expandindo os termos:

y^' = (2)/(1 - 2 x + x^2 + 1 + 2 x + x^2)

y^' = (2)/(2 + 2 x^2)

y^' = (2)/(2) ((1)/(1 + x^2))

Resposta

y^' = (1)/(1 + x^2)

Chegou ao mesmo resultado aí?Nessa questão precisa ter muita atenção pra não confundir nenhuma operação ali.

Qualquer dúvida é só falar!