Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz(arctg(x)) - arcsen(x)^3

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sqrt(arctg x) - (arcsen x)^3

y = (arc tg x)^((1)/(2)) - (arcsen x)^3

Bem, aqui teremos uma derivada de uma função inversa. Então vamos relembrar que:

( arcsen x ) ' = (x^')/(sqrt(1 - x^2)) e ( arctg x ) ' = (x ')/(1 + x^2)

Vamos adotar a substituição para o termo:

u = arcsen x e v = arctg x

Então teremos:

y = (v)^((1)/(2)) - (u)^3

Logo, a derivada será:

y ' = (v^((1)/(2)))^' (arc tg x)^' - ( u^3 ) ' (arcsen x)^'

y^' = (1)/(2) v^(- (1)/(2)) ((1)/(1 + x^2)) - 3 u^2 ((1)/(sqrt(1 - x^2)))

y^' = (1)/(2 sqrt(v)) ((1)/(1 + x^2)) - 3 u^2 ((1)/(sqrt(1 - x^2)))

Voltando com a equivalência de u e v , teremos:

y^' = (1)/(2 sqrt((arc tg x))) ((1)/(1 + x^2)) - 3 (arcsen x)^2 ((1)/(sqrt(1 - x^2)))

y^' = (1)/(2 sqrt((arctg x)) ( 1 + x^2 )) - (3 arcsen^2 x)/(sqrt(1 - x^2))

Resposta

y^' = (1)/(2 sqrt((arctg x)) ( 1 + x^2 )) - (3 arcsen^2 x)/(sqrt(1 - x^2))

Parece complexo, mas com calma dá pra resolver numa boa, né?

Qualquer dúvida, é só chamar!