Achar as derivadas das seguintes funções.

f(x) = -1 / (6 * (1 - 3 * cos(x))^2)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

f (x) = - (1)/(6 (1 - 3 cos x)^2)

Nesse caso, vamos usar a substituição com o termo dentro do parênteses:

u = ( 1 - 3 cos x )

Então teremos:

f (x) = - (1)/(6 u^2)

f (x) = - (u^(- 2))/(6)

Logo, a derivada será:

f^' (x) = - (1)/(6) ( u^(- 2) ) ' ( 1 - 3 cos x ) '

Sabemos que (cos x)^' = - x ' sen x , então:

f^' (x) = - (1)/(6) (- 2 u^(- 3)) (- 3 (- sen x))

f^' (x) = (2)/(6) u^(- 3) (3 sen x)

Simplificando:

f^' (x) = (sen x)/(u^3)

Voltando com a equivalência de u teremos:

f^' (x) = (sen x)/(( 1 - 3 cos x )^3)

Resposta

f^' (x) = (sen x)/(( 1 - 3 cos x )^3)

Muito útil a substituição de u nos processos de derivação, não?

Espero que essa resolução tenha lhe ajudado a entender o conteúdo. Qualquer dúvida, pode mandar pra gente aqui!