Achar as derivadas das seguintes funções.

y = 1 / (3 * cos^3(x)) - 1 / (cos(x))

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (1)/(3 cos^3 x) - (1)/(cos x)

Moleza, né? Já sabemos o que fazer! Substituiremos:

u = ( cos x )

Então teremos:

y = (1)/(3 u^3) - (1)/(u)

y = (u^(- 3))/(3) - u^(- 1)

Logo, a derivada será:

y^' = (1)/(3) (u^(- 3))^' (cos x)^' - ( u^(- 1) ) ' ( cos x ) '

Sabemos que (co s x)^' = - x ' sen x , então:

y^' = (1)/(3) (- 3 u^(- 4)) (- sen x) - ( - 1 u^(- 2) ) ( - sen x )

y^' = - u^(- 4) (- sen x) - ( u^(- 2) sen x )

Simplificando:

y^' = (sen x)/(u^4) - (sen x)/(u^2)

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = (sen x)/(( cos x )^4) - (sen x)/(( cos x )^2)

Vamos reorganizar dessa forma:

y^' = sen x (((1)/(cos x))^4 - ((1)/(cos x))^2)

Agora, vamos relembrar algumas identidades trigonométricas?Se liga só... temos que:

(1)/(cos x) = sec x

Então, ficamos com:

y^' = sen x ( (sec x)^4 - (sec x)^2 )

y^' = sen x ((sec^2 x)^2 - (sec^2 x))

y^' = sen x sec^2 x ( sec^2 x - 1 )

Sabemos também que:

sec^2 x - 1 = tg^2 x

Então:

y^' = sen x ((1)/(cos x)) sec x (tg^2 x)

y^' = (sen x)/(cos x) tg^2 x sec x

Lembrando que:

(sen x)/(cos x) = tg x

Assim, teremos:

y^' = tg x tg^2 x sec x

y^' = tg^3 x sec x

Resposta

y^' = tg^3 x sec x

E aí? Achou complexo?É sempre bom recorrer às identidades trigonométricas pra nos ajudar a enxergar algumas transformações.