Achar as derivadas das seguintes funções.

y = (1 + cos(2x)) / (1 - cos(2x))

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (1 + cos 2 x)/(1 - cos 2 x)

Vamos começar aplicando uma identidade trigonométrica?

Vai simplificar bastante nosso trabalho, se liga só!

Sabemos que:

cos^2 x = (1)/(2) (1 + cos 2 x)

Então:

(1 + cos 2 x) = 2 cos^2 x

Temos também, que:

sen^2 x = (1)/(2) (1 - cos 2 x)

Logo:

(1 - cos 2 x) = 2 sen^2 x

Vamos reescrever a função então:

y = (2 cos^2 x)/(2 sen^2 x)

y = (cos^2 x)/(sen^2 x)

Já deu uma melhorada, não?

Sabemos também que:

(cos x)/(sen x) = (1)/(tg x) = cotg x

Então:

y = cotg^2 x

Agora é mole, né?

Vamos usar:

u = cotg x

Então:

y = (u)^2

Assim, nossa derivada será:

y^' = ( u^2 ) ' ( cotg x ) '

y^' = 2 u ( - cosec^2 x )

Voltando com nossa substituição u :

y^' = 2 ( cotg x ) ( - cosec^2 x )

y^' = - 2 cotg x cosec^2 x

Resposta

y^' = - 2 cotg x cosec^2 x

Gostou da manipulação com as identidades trigonométricas?Ajuda muito, né?

Se tiver alguma dúvida, pode falar com a gente!