Achar as derivadas das seguintes funções.

y = 1 / 15 * cos^3(x) * (3 * cos^2(x) - 5)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = (1)/(15) cos^3 x ( 3 cos^2 x - 5 )

Podemos iniciar já substituindo as funções trigonométricas por:

u = cos x

Assim, temos:

y = (1)/(15) u^3 ( 3 u^2 - 5 )

Assim, nossa derivada fica:

y^' = (1)/(15) [(u^3)^' (cos x)^' (3 u^2 - 5) + ( u^3 ) ( 3 u^2 - 5 ) ' ( cos x ) ']

y^' = (1)/(15) [3 u^2 (- sen x) (3 u^2 - 5) + u^3 (6 u) (- sen x)]

y^' = (1)/(15) [(9 u^4 - 15 u^2) (- sen x) + 6 u^4 ( - sen x )]

y^' = (1)/(15) [(sen x) (- 15 u^4 + 15 u^2)]

y^' = [(sen x) (- u^4 + u^2)]

Retornando com o termo u :

y^' = [(sen x) (- ( cos x )^4 + ( cos x )^2)]

y^' = cos^2 x sen x - cos^4 x sen x

Lembrando das identidades trigonométricas, temos que:

cos^2 A = 1 - sen^2 A

Então, podemos reescrever da seguinte forma:

y^' = (1 - sen^2 x) sen x - cos^4 x sen x

Vamos manipular um pouco os termos:

y^' = sen x - sen^3 x - cos^4 x sen x

y^' = sen x (1 - cos^4 x) - sen^3 x

y^' = sen x (1 - cos^2 x) (1 + cos^2 x) - sen^3 x

y^' = sen x (sen^2 x) (1 + cos^2 x) - sen^3 x

y^' = sen^3 x (1 + cos^2 x) - sen^3 x

y^' = sen^3 x + sen^3 cos^2 x - sen^3 x

Logo:

y^' = sen^3 x cos^2 x

Resposta

y^' = sen^3 x cos^2 x

Certinho?Preste atenção nas possibilidades do uso das identidades trigonométricas!