Achar as derivadas das seguintes funções.

x = cosec^2(t) + sec^2(t)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

x = cosec^2 t + sec^2 t

Nesse caso, podemos usar uma substituição em cada termo. Então façamos:

u = (cos ec t) e v = ( sec t )

Então teremos:

x = u^2 + v^2

Logo, a derivada será:

x ' = (u^2)^' (cosec t)^' + ( v^2 ) ' ( sec t ) '

Sabemos que (co s ec x)^' = - x^' cosec x cotg x , e (sec x)^' = x^' sec x tg x , então:

x ' = 2 u (- cosec t cotg t) + 2 v ( sec t tg t )

x^' = 2 v (sec t tg t) - 2 u (cosec t cotg t)

Voltando com a equivalência de u e v teremos:

x^' = 2 ( sec t ) (sec t tg t) - 2 (cosec t) (cosec t cotg t)

x^' = 2 sec^2 t tg t - 2 cosec^2 t cotg t

Resposta

x^' = 2 sec^2 t tg t - 2 cosec^2 t cotg t

Embaralhou aí? Ou deu certinho!Qualquer dúvida, pode falar!