Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz(cotg(x)) - raiz(cotg(α))

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sqrt(cotg x) - sqrt(cotg alpha)

Reescrevendo:

y = (cotg x)^((1)/(2)) - (cotg alpha)^((1)/(2))

Substituindo:

u = (cotg x)

Então teremos:

y = (u)^((1)/(2)) - (cotg alpha)^((1)/(2))

Logo, a derivada será:

y = (u^((1)/(2)))^' ( cotg x ) ' - ((cotg alpha)^((1)/(2)))^' ( cotg x ) '

Sabemos que (cotg x)^' = x ' cosec^2 x , então:

y = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) ( cosec^2 x ) - ( 0 ) ( cosec^2 x )

y^' = (cosec^2 x)/(2 sqrt(u))

Voltando com a equivalência de u teremos:

y^' = (cosec^2 x)/(2 sqrt(cotg x))

Resposta

y^' = (cosec^2 x)/(2 sqrt(cotg x))

Está aí a nossa querida derivada de uma função trigonométrica.

Conseguiu aí? Qualquer dúvida fala com a gente!