Achar as derivadas das seguintes funções.

y = sen(x^2 - 5x + 1) + tg(a / x)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sen ( x^2 - 5 x + 1 ) + tg (a)/(x)

y = sen ( x^2 - 5 x + 1 ) + tg a x^(- 1)

Bem, vamos definir duas substituições, nos argumentos dentro das funções trigonométricas. Vai facilitar muito nosso processo. Saca só:

u = ( x^2 - 5 x + 1 ) e v = a x^(- 1)

Então teremos:

y = sen ( u ) + tg ( v )

Logo, a derivada será:

y^' = (sen u)^' (x^2 - 5 x + 1)^' + (tg v)^' (a x^(- 1))^'

Então:

y^' = cos u (2 x - 5) + sec^2 v (- a x^(- 2))

y^' = cos u (2 x - 5) - (a)/(x^2) sec^2 v

Voltando com a equivalência de u e v , teremos:

y^' = cos ( x^2 - 5 x + 1 ) (2 x - 5) - (a)/(x^2) sec^2 (a x^(- 1))

Simplificando:

y^' = (2 x - 5) cos ( x^2 - 5 x + 1 ) - (a)/(x^2) sec^2 ((a)/(x))

Lembrando que os termos que substituímos são argumentos das funções trigonométricas. Portanto, não podem ser simplificados nem expandidos!

Resposta

y^' = (2 x - 5) cos ( x^2 - 5 x + 1 ) - (a)/(x^2) sec^2 ((a)/(x))

Pronto! Está aí nossa derivada.

Alguma dúvida?