Achar as derivadas das seguintes funções.

y = sen²(t³)

Passo 1

Fala galera, beleza?Vamos derivar um pouco?Antes vamos lembrar algumas coisas importantes.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sen^2 t^3

Usando a substituição:

u = sen t^3

Teremos:

y = u^2

Então, nossa derivada será:

y^' = (u^2)^' (sen t^3)^'

Lembrando que:

(sen A)^' = A^' cos A

Portanto:

y^' = 2 u (3 t^2 cos t^3)

y^' = 6 u t^2 cos t^3

Voltando com u :

y^' = 6 t^2 (sen t^3) cos t^3

Podemos reescrever como a seguinte identidade trigonométrica:

cos A sen A = (1)/(2) sen 2 A

Logo teremos:

y^' = 6 t^2 * (1)/(2) sen 2 t^3

y^' = 3 t^2 sen 2 t^3

Resposta

y^' = 3 t^2 sen 2 t^3

Certinho?Se tiver alguma dúvida, pode falar com a gente!