Achar as derivadas das seguintes funções.

y = raiz(sen^2(x), 3) + 1 / cos^3(x)

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = root(3)(sen^2 x) + (1)/(cos^3 x)

Vamos adotar duas substituições:

u = sen x e v = cos x

Então:

y = root(3)(u^2) + (1)/(v^3)

Reescrevendo:

y = u^((2)/(3)) + v^(- 3)

Logo, a derivada será:

y^' = (u^((2)/(3)))^' (sen x)^' + (v^(- 3))^' (cos x)^'

Sabemos que, (co s x)^' = - x ' sen x e (sen x)^' = x^' cos x , então:

y^' = (2)/(3) u^((2)/(3) - 1) cos x + ( - 3 v^(- 4) ) ( - sen x )

y^' = (2)/(3) u^(- (1)/(3)) cos x + 3 sen x v^(- 4)

y^' = (2 cos x)/(3 u^((1)/(3))) + (3 sen x)/(v^4)

Voltando com a equivalência de u e v teremos:

y^' = (2 cos x)/(3 ( sen x )^((1)/(3))) + (3 sen x)/(( cos x )^4)

y^' = (2 cos x)/(3 root(3)(sen x)) + (3 sen x)/(cos^4 x)

Vamos reescrever assim:

y^' = (2 cos x)/(3 root(3)(sen x)) + 3 * (sen x)/(cos x) * (1)/(cos^3 x)

Com as identidades trigonométricas, sabemos que:

tg x = (sen x)/(cos x) e (1)/(cos x) = sec x

Então, podemos escrever dessa forma:

y^' = (2 cos x)/(3 root(3)(sen x)) + 3 tg x sec^3 x

Resposta

y^' = (2 cos x)/(3 root(3)(sen x)) + 3 tg x sec^3 x

Fechou aí?Mais uma vez as identidades trigonométricas se mostrando úteis.