Achar as derivadas das seguintes funções.

y = sen(3x) + cos(x/5) + tg(raiz(x))

Passo 1

Fala galera, beleza?Bem, agora iremos trabalhar com outra técnica de derivação, a de substituição. Nela, substituímos um termo por u , para facilitar o processo. E, depois de feita a derivação, retornamos com o nosso termo inicial, para obtermos o resultado desejado.

( (a + b x)^5 ) ' = ( (u)^5 ) ' * ( a + b x ) ' , o n d e u = a + b x

Temos também a regra da cadeia, que é sempre recorrente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + f (x) g^' (x)

(f (g (h (x))))^' = f^' (g (h (x))) * g^' (h (x)) * h^' (x)

Então, temos a seguinte função:

y = sen 3 x + cos (x)/(5) + tg sqrt(x)

y = sen 3 x + cos (x)/(5) + tg (x^((1)/(2)))

Bem, vamos definir três substituições, nos argumentos dentro das funções trigonométricas. Vai facilitar muito nosso processo. Saca só:

u = 3 x , v = (x)/(5) , w = x^((1)/(2))

Então teremos:

y = sen u + cos v + tg w

Logo, a derivada será:

y^' = (sen u)^' (3 x)^' + (cos v)^' ((x)/(5))^' + (tg w)^' (x^((1)/(2)))^'

Então:

y^' = cos u (3) + (- sen v) ((1)/(5)) + sec^2 w ((1)/(2) x^(- (1)/(2)))

y^' = 3 cos u - (1)/(5) sen v + (sec^2 w)/(2 sqrt(x))

Voltando com a equivalência de u , v e w , teremos:

y^' = 3 cos ( 3 x ) - (1)/(5) sen ((x)/(5)) + (sec^2 (x^((1)/(2))))/(2 sqrt(x))

Simplificando:

y^' = 3 cos ( 3 x ) - (1)/(5) sen ((x)/(5)) + (sec^2 (sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

Lembrando que os termos que substituímos são argumentos das funções trigonométricas. Portanto, não podem ser simplificados, como no terceiro termo.

Resposta

y^' = 3 cos ( 3 x ) - (1)/(5) sen ((x)/(5)) + (sec^2 (sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

Show! Bateu o resultado aí?

Alguma dúvida?